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7層

OSI model 維基百科

積項之和/和項之積

• 積項之和（Sun of Products，SOP）

ABC + ABC
AB + ABC + C D + D
AB + CD + EF + GK + HL

由一個或一個以上的AND項互相OR在一起
所組成

• 和項之積（Product of Sums，POS）

(A+ B +C)(A+C)
(A + B)(C + D)F
(A+C)(B + D)(B +C)
由一個或一個以上的OR項，AND在一
起所構成

• 布林代數與基本邏輯閘

英國數學家 George Boole 在 1854 年提出一套數學系統，來解決分析與設計數位電路之方
法，稱為布林代數 (Boolean Algebra)。

為了分析與設計數位系統，德國數學家 C. E. Shannon，在 1938 年發展一套兩值布林代數，
又被稱為交換代數 (Switching Algebra)，並證明兩值布林代數，可充分代表數位系統之特性，
因此兩值布林代數已被發展成為數位系統分析與設計之數學基礎。



一、布林代數之性質

布林代數與一般演繹性之代數系統一樣，它亦可用一組基本元素之集合、一組運算子與許多未證明之定理與假設來定義。

‹ 

布林代數可用下式來表示

B = f (w, x, y,z, ... )

其中 B 為輸出變數w、 x、 y、z等輸入變數之函數，即 B 之值是由w、 x、 y、z

等變數來決定。

‹

構成布林代數之基本元素，僅被允許為 0 與 1 兩個可能元素之一，且所有數位系統之輸入與輸出變數，亦僅被限制為 0 與 1 兩個可能邏輯值之一，而這兩個邏輯值 (0 與 1)  是分別用來代表數位系統之低電位與高電位的電壓位準，故足以說明布林代數與數位系統間之直接對應關係。

     

二、布林代數之定義

兩值布林代數之輸入與輸出變數僅允許 0 與 1 兩個元素，因組成布林代數為此兩元素，即

B ={0,1}集合，與 AND (  積；．)、OR (  和；+ )  與 NOT (  反； )  三個基本二元邏輯運算

子 (Binary Logic Operator)  所組成之代數架構。

‹ 布林代數亦應是一套完整之代數系統，故布林代數 B 應為 0 與 1 等兩值所組成之集合，即

B = {0,1}，因此對於 B 中之所有元素，應滿足下列六項基本假設：

1. 封閉性(Closure Properties)：對集合 B 中的任一個元素而言，經二元運算子運算後所得到

    之元素，亦應為集合 B 之元素。

2. 單位元素 (Identity Unit)：若集合 B 存在一個 0 或 1 之元素，則經邏輯運算後，會滿足

    x ⋅1 = 1⋅ x = x與 x + 0 = 0 + x = x。

3. 交 換 律 (Commutative Law)：對任意兩個元素x, y ∈ B 而言，若存在交換律，則應滿足

    x ⋅ y = y ⋅ x與 x + y = y + x。

4. 分配律 (Distributive Law)：對任意三個元素 x, y,z ∈ B而言，若存在分配律，則應滿足

    x ⋅( y + z) = x ⋅ y + x ⋅z與 x + ( y ⋅z) = (x + y)⋅(x + z)。

5. 反元素 (Inverse Element)：對集合 B 中的任一個元素而言，若存在x ∈ B，亦存在 x ∈ B。

6. 布林代數 B 至少存在兩個不同之元素x ⋅ y∈ B，且 x ≠ y，即兩值布林代數有兩個元素 1

與 0，且1 ≠ 0。

                                            

                                                證明假說(4)之真值表

三、布林代數之基本定理

接著列出許多常用之布林定理，並分為單變數與多變數兩個部分來討論如下：

1.  單變數布林定理

2. 多變數布林定理

狄摩根定律 (DeMorgan’s Theorem)  之變數，亦可適用於 n 個變數之布林代數式，即下面之布林等式亦可成立，即

(a)  x + y + ...+ n = x ⋅ y ⋅ ... ⋅n

(b) x ⋅ y ⋅ ... ⋅n = x + y + ... + n